与えられた画像には、ベクトル、四面体の体積、物体の運動、電磁場中の荷電粒子の運動に関する4つの問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた画像には、ベクトル、四面体の体積、物体の運動、電磁場中の荷電粒子の運動に関する4つの問題が含まれています。

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下に解き方の手順を説明します。

問題1：ベクトル $\vec{A} = (10, 5, 2)$、$\vec{B} = (3, 4, 0)$ に関して

(1) $\vec{A}$ を $\vec{B}$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの $\vec{B}$ 方向のベクトルを求めます。これは $\vec{A}$ の $\vec{B}$ への正射影ベクトル $\vec{A}_{\parallel}$ です。

正射影ベクトル $\vec{A}_{\parallel}$ は次の式で求められます。

$$\vec{A}_{\parallel} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{\|\vec{B}\|^2} \vec{B}$$

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (10)(3) + (5)(4) + (2)(0) = 30 + 20 + 0 = 50$

$\|\vec{B}\|^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$

$$\vec{A}_{\parallel} = \frac{50}{25} \vec{B} = 2 \vec{B} = 2(3, 4, 0) = (6, 8, 0)$$

(2) $\vec{A}$ を $\vec{B}$ 方向とそれに垂直な方向に分解したときの $\vec{B}$ に垂直な方向のベクトルを求めます。これは $\vec{A}$ から $\vec{A}_{\parallel}$ を引いたベクトル $\vec{A}_{\perp}$ です。

$$\vec{A}_{\perp} = \vec{A} - \vec{A}_{\parallel} = (10, 5, 2) - (6, 8, 0) = (4, -3, 2)$$

(3) $\vec{A}$ と $\vec{B}$ に垂直な単位ベクトルを求めます。これは $\vec{A}$ と $\vec{B}$ の外積を計算し、その結果を正規化することで求められます。

外積 $\vec{A} \times \vec{B}$ は次のようになります。

$$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 10 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (5(0) - 2(4))\vec{i} - (10(0) - 2(3))\vec{j} + (10(4) - 5(3))\vec{k} = -8\vec{i} + 6\vec{j} + 25\vec{k} = (-8, 6, 25)$$

$\|\vec{A} \times \vec{B}\| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + 25^2} = \sqrt{64 + 36 + 625} = \sqrt{725} = 5\sqrt{29}$

したがって、単位ベクトル $\hat{n}$ は次のようになります。

$$\hat{n} = \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{\|\vec{A} \times \vec{B}\|} = \frac{(-8, 6, 25)}{5\sqrt{29}} = \left( -\frac{8}{5\sqrt{29}}, \frac{6}{5\sqrt{29}}, \frac{25}{5\sqrt{29}} \right) = \left( -\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$$

問題2：4点 P(-1, 1, 3), A(2, 6, 1), B(3, 0, -1), C(1, 2, 7) を頂点とする四面体の体積を求めます。

四面体の体積 $V$ は次の式で求められます。

$$V = \frac{1}{6} |(\vec{PA} \times \vec{PB}) \cdot \vec{PC}|$$

$\vec{PA} = (2 - (-1), 6 - 1, 1 - 3) = (3, 5, -2)$

$\vec{PB} = (3 - (-1), 0 - 1, -1 - 3) = (4, -1, -4)$

$\vec{PC} = (1 - (-1), 2 - 1, 7 - 3) = (2, 1, 4)$

$\vec{PA} \times \vec{PB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & -2 \\ 4 & -1 & -4 \end{vmatrix} = (5(-4) - (-2)(-1))\vec{i} - (3(-4) - (-2)(4))\vec{j} + (3(-1) - 5(4))\vec{k} = (-20 - 2)\vec{i} - (-12 + 8)\vec{j} + (-3 - 20)\vec{k} = (-22, 4, -23)$

$(\vec{PA} \times \vec{PB}) \cdot \vec{PC} = (-22)(2) + (4)(1) + (-23)(4) = -44 + 4 - 92 = -132$

$V = \frac{1}{6} |-132| = \frac{132}{6} = 22$

問題3：質量 $m$ の物体の位置ベクトル $\vec{r} = (r_0 \cos \omega t, r_0 \sin \omega t, v_0 t)$ について

(1) 速度 $\vec{v}$ および加速度 $\vec{a}$ を求めます。

速度 $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (-r_0 \omega \sin \omega t, r_0 \omega \cos \omega t, v_0)$

加速度 $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (-r_0 \omega^2 \cos \omega t, -r_0 \omega^2 \sin \omega t, 0)$

(2) $\vec{r} \cdot \vec{v}$ がなす角 $\theta$ を求めます。

$\vec{r} \cdot \vec{v} = (r_0 \cos \omega t)(-r_0 \omega \sin \omega t) + (r_0 \sin \omega t)(r_0 \omega \cos \omega t) + (v_0 t)(v_0) = -r_0^2 \omega \cos \omega t \sin \omega t + r_0^2 \omega \sin \omega t \cos \omega t + v_0^2 t = v_0^2 t$

$\cos \theta = \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{\|\vec{r}\| \|\vec{v}\|} = \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 \cos^2 \omega t + r_0^2 \sin^2 \omega t + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 \sin^2 \omega t + r_0^2 \omega^2 \cos^2 \omega t + v_0^2}} = \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}}$

$\theta = \arccos \left( \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}} \right)$

(3) 運動エネルギー $K$ を求めます。

$K = \frac{1}{2} m \|\vec{v}\|^2 = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 \sin^2 \omega t + r_0^2 \omega^2 \cos^2 \omega t + v_0^2) = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 運動の様子を図示せよ。

螺旋運動。xy平面上では円運動を行い、z軸方向には等速運動を行う。

問題4：電場 $\vec{E}$ および磁束密度 $\vec{B}$ の空間中を速度 $\vec{v}$ で移動する荷電粒子の運動方程式

与えられた運動方程式 $m \frac{d\vec{v}}{dt} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ と $\vec{v} = \vec{w} + \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2}$ を用いて、$\vec{w}$ についての運動方程式を求めます。

まず、$\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{w}}{dt}$ となります。なぜなら $\vec{E}$ と $\vec{B}$ は時間的に一定であると仮定するからです。

したがって、$m \frac{d\vec{w}}{dt} = q \left( \vec{E} + \left( \vec{w} + \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2} \right) \times \vec{B} \right) = q \left( \vec{E} + \vec{w} \times \vec{B} + \frac{(\vec{E} \times \vec{B}) \times \vec{B}}{B^2} \right)$

ここで、ベクトル三重積の公式 $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ を用いると、

$(\vec{E} \times \vec{B}) \times \vec{B} = (\vec{E} \cdot \vec{B}) \vec{B} - (\vec{B} \cdot \vec{B}) \vec{E}$

$\vec{E}$ と $\vec{B}$ が直交する条件より、$\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$ であるため、 $(\vec{E} \times \vec{B}) \times \vec{B} = -B^2 \vec{E}$ となります。

したがって、$m \frac{d\vec{w}}{dt} = q \left( \vec{E} + \vec{w} \times \vec{B} + \frac{-B^2 \vec{E}}{B^2} \right) = q \left( \vec{E} + \vec{w} \times \vec{B} - \vec{E} \right) = q (\vec{w} \times \vec{B})$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $\vec{A}_{\parallel} = (6, 8, 0)$

(2) $\vec{A}_{\perp} = (4, -3, 2)$

(3) $\hat{n} = \left( -\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$

問題2：

$V = 22$

問題3：

(1) $\vec{v} = (-r_0 \omega \sin \omega t, r_0 \omega \cos \omega t, v_0)$, $\vec{a} = (-r_0 \omega^2 \cos \omega t, -r_0 \omega^2 \sin \omega t, 0)$

(2) $\theta = \arccos \left( \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}} \right)$

(3) $K = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 螺旋運動

問題4：

$m \frac{d\vec{w}}{dt} = q (\vec{w} \times \vec{B})$