与えられた式 $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ についての2次式とみなして整理します。

$x^2 + (2y - 5)x + (-3y^2 + y + 4)$

次に、定数項 $-3y^2 + y + 4$ を因数分解します。

$-3y^2 + y + 4 = -(3y^2 - y - 4) = -(3y - 4)(y + 1) = (4-3y)(y+1)$

ここで、$x^2 + (2y - 5)x + (4-3y)(y+1)$ が $(x + a)(x + b)$ の形に因数分解できると仮定すると、$a + b = 2y - 5$ かつ $ab = (4-3y)(y+1)$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a = (4 - 3y)$ かつ $b = -(y + 1)$ とすると、

$a + b = (4 - 3y) + (-(y + 1)) = 4 - 3y - y - 1 = 3 - 4y$ となり、$2y - 5$ とは一致しません。

$a = (y + 1)$ かつ $b = (4 - 3y)$ とすると、

$a + b = (y + 1) + (4 - 3y) = 5 - 2y$ となり、$2y - 5$ とは一致しません。

$a = -(y + 1)$ かつ $b = -(4 - 3y) = (3y - 4)$ とすると、

$a + b = -(y + 1) + (3y - 4) = -y - 1 + 3y - 4 = 2y - 5$ となり、一致します。

したがって、$x^2 + (2y - 5)x + (4-3y)(y+1) = (x - (y + 1))(x + (3y - 4)) = (x - y - 1)(x + 3y - 4)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x - y - 1)(x + 3y - 4)$