等比数列 $\{3, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \}$ において、 $-\frac{1}{729}$ は第何項になるか。

## (2) の問題

1. 問題の内容

等比数列 $\{3, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \dots \}$ において、 $-\frac{1}{729}$ は第何項になるか。

2. 解き方の手順

まず、この等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求めます。

初項は $a = 3$ です。

公比は、例えば第2項を第1項で割ることで求められます。

$r = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

したがって、一般項 $a_n$ は次のようになります。

$a_n = a r^{n-1}$

$a_n = 3 \left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1}$

$-\frac{1}{729}$ が第何項かを知るために、$a_n = -\frac{1}{729}$ となる $n$ を求めます。

$3 \left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1} = -\frac{1}{729}$

$\left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1} = -\frac{1}{2187}$

ここで、$2187 = 3^7$ であることを利用します。

$\left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1} = -\frac{1}{3^7}$

$\left( -\frac{1}{3} \right)^{n-1} = \left( -\frac{1}{3} \right)^{7}$

したがって、$n-1 = 7$ となります。

$n = 8$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{729}$ は第 8 項である。

## (3) の問題

1. 問題の内容

三つの自然数 $6, b, 96$ が等比数列をなすとき、$b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の性質から、$6, b, 96$ が等比数列をなすとき、

$\frac{b}{6} = \frac{96}{b}$

という関係が成り立ちます。

これを解くと、

$b^2 = 6 \times 96 = 576$

$b = \pm \sqrt{576} = \pm 24$

問題文より、$6, b, 96$は自然数であるので、$b$は正の数である必要があります。したがって、$b=24$

3. 最終的な答え

$b=24$