与えられた式 $(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(a-b+c)$ と $(a+b-c)(a-b-c)$ をそれぞれ計算します。

$(a+b+c)(a-b+c) = ((a+c) + b)((a+c) - b) = (a+c)^2 - b^2 = a^2 + 2ac + c^2 - b^2$

$(a+b-c)(a-b-c) = ((a-c) + b)((a-c) - b) = (a-c)^2 - b^2 = a^2 - 2ac + c^2 - b^2$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(a^2 + 2ac + c^2 - b^2)(a^2 - 2ac + c^2 - b^2) = ((a^2+c^2-b^2) + 2ac)((a^2+c^2-b^2) - 2ac)$

$= (a^2+c^2-b^2)^2 - (2ac)^2$

$= (a^2+c^2-b^2)^2 - 4a^2c^2$

$= (a^2+c^2)^2 -2(a^2+c^2)b^2 + b^4 - 4a^2c^2$

$= a^4 + 2a^2c^2 + c^4 -2a^2b^2 -2c^2b^2 + b^4 - 4a^2c^2$

$= a^4 + c^4 + b^4 - 2a^2c^2 - 2a^2b^2 - 2c^2b^2$

$= a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$

3. 最終的な答え

$a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2b^2c^2 - 2c^2a^2$