円筒容器の上端近くで、振動数 $500 \text{ Hz}$ の音叉を鳴らしながら水面の位置を変えたところ、上端から水面までの距離 $L_1 = 16.4 \text{ cm}$、 $L_2 = 50.2 \text{ cm}$ のときに共鳴が起こった。 (1) 次に共鳴が起こるときの水面までの距離を求めよ。 (2) 音の速さを求めよ。 (3) 開口端補正を求めよ。

1. 問題の内容

円筒容器の上端近くで、振動数 $500 \text{ Hz}$ の音叉を鳴らしながら水面の位置を変えたところ、上端から水面までの距離 $L_1 = 16.4 \text{ cm}$、 $L_2 = 50.2 \text{ cm}$ のときに共鳴が起こった。

(1) 次に共鳴が起こるときの水面までの距離を求めよ。

(2) 音の速さを求めよ。

(3) 開口端補正を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 気柱の共鳴において、共鳴が起こる時の気柱の長さは、波長の$\frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}$、$\frac{5}{4}$、...倍となる。

したがって、共鳴が起こる時の気柱の長さの間隔は $\frac{\lambda}{2}$ である。

$L_2 - L_1 = 50.2 \text{ cm} - 16.4 \text{ cm} = 33.8 \text{ cm}$ が $\frac{\lambda}{2}$ に相当する。

したがって、次の共鳴が起こる時の水面までの距離 $L_3$ は、$L_2 + \frac{\lambda}{2}$ で求められる。

$L_3 = L_2 + (L_2 - L_1) = 50.2 \text{ cm} + 33.8 \text{ cm} = 84.0 \text{ cm}$

(2) 音速 $v$ は、波長 $\lambda$ と振動数 $f$ の積で表される。

$\lambda = 2 (L_2 - L_1) = 2 \times 33.8 \text{ cm} = 67.6 \text{ cm} = 0.676 \text{ m}$

$v = f \lambda = 500 \text{ Hz} \times 0.676 \text{ m} = 338 \text{ m/s}$

(3) 開口端補正 $e$ は、$L_1 = \frac{\lambda}{4} - e$ および $L_2 = \frac{3\lambda}{4} - e$ を満たす。

$L_1 + e = \frac{\lambda}{4}$

$L_2 + e = \frac{3\lambda}{4}$

$2(L_1 + e) = \frac{\lambda}{2}$

$L_2 - L_1 = \frac{3\lambda}{4} - e - (\frac{\lambda}{4} - e) = \frac{\lambda}{2}$

$L_1 = \frac{\lambda}{4} - e = \frac{0.676}{4} - e = 0.169 - e$

$e = 0.169 \text{ m} - L_1 = 16.9 \text{ cm} - 16.4 \text{ cm} = 0.5 \text{ cm}$

3. 最終的な答え

(1) 次に共鳴が起こるときの水面までの距離: $84.0 \text{ cm}$

(2) 音の速さ: $338 \text{ m/s}$

(3) 開口端補正: $0.5 \text{ cm}$