多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが 5 であり、$x-3$ で割ったときの余りが 9 であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $x-2$ で割ったときの余りが 5 であり、$x-3$ で割ったときの余りが 9 であるとき、$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$P(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りは、一般に一次式 $ax+b$ で表すことができる。なぜなら、$(x-2)(x-3)$ が2次式だから余りは1次以下の式になるはずである。

したがって、ある多項式 $Q(x)$ を用いて

$P(x) = (x-2)(x-3)Q(x) + ax + b$

と表せる。

問題文より、$P(2) = 5$ および $P(3) = 9$ である。

$x=2$ を代入すると、

$P(2) = (2-2)(2-3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 5$

$x=3$ を代入すると、

$P(3) = (3-2)(3-3)Q(3) + 3a + b = 3a + b = 9$

これら二つの式から $a$ と $b$ を求める。

$3a + b = 9$ から $2a + b = 5$ を引くと、

$a = 4$

$2a + b = 5$ に $a = 4$ を代入すると、

$2(4) + b = 5$

$8 + b = 5$

$b = -3$

したがって、余りは $4x - 3$ となる。

3. 最終的な答え

$4x-3$