3つのベクトル $a_1$, $a_2$, $a_3$ が与えられている。ここで $\sqrt{-1}$ は虚数単位 $i$ である。$a_1$ と $a_2$ が線形独立であり、$a_1$, $a_2$, $a_3$ が線形従属であることを示す。ベクトルは以下の通り。 $a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 2 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 11-6i \\ -4+i \\ 2i \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 3-4i \\ -2+i \\ 2i \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

3つのベクトル $a_1$, $a_2$, $a_3$ が与えられている。ここで $\sqrt{-1}$ は虚数単位 $i$ である。$a_1$ と $a_2$ が線形独立であり、$a_1$, $a_2$, $a_3$ が線形従属であることを示す。ベクトルは以下の通り。

$a_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 2 \end{pmatrix}$, $a_2 = \begin{pmatrix} 11-6i \\ -4+i \\ 2i \end{pmatrix}$, $a_3 = \begin{pmatrix} 3-4i \\ -2+i \\ 2i \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

まず、$a_1$ と $a_2$ が線形独立であることを示す。

線形独立であるとは、$c_1 a_1 + c_2 a_2 = 0$ が成立するとき、$c_1 = c_2 = 0$ となることである。

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 11-6i \\ -4+i \\ 2i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これから以下の連立方程式が得られる。

$c_1 + (11-6i)c_2 = 0$

$ic_1 + (-4+i)c_2 = 0$

$2c_1 + 2ic_2 = 0$

3番目の式より $c_1 = -ic_2$ となる。

これを1番目の式に代入すると、 $-ic_2 + (11-6i)c_2 = (11-7i)c_2 = 0$。 よって $c_2 = 0$ となる。

すると $c_1 = -ic_2 = 0$ となる。

したがって、$a_1$ と $a_2$ は線形独立である。

次に、$a_1$, $a_2$, $a_3$ が線形従属であることを示す。

線形従属であるとは、$c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = 0$ が成立するとき、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$ ではない解が存在することである。

$c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ i \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 11-6i \\ -4+i \\ 2i \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 3-4i \\ -2+i \\ 2i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これから以下の連立方程式が得られる。

$c_1 + (11-6i)c_2 + (3-4i)c_3 = 0$

$ic_1 + (-4+i)c_2 + (-2+i)c_3 = 0$

$2c_1 + 2ic_2 + 2ic_3 = 0$

3番目の式より $c_1 + ic_2 + ic_3 = 0$なので、$c_1 = -i(c_2 + c_3)$。

これを1番目の式に代入すると、$-i(c_2 + c_3) + (11-6i)c_2 + (3-4i)c_3 = 0$。

$(11-7i)c_2 + (3-5i)c_3 = 0$。

これを2番目の式に代入すると、$i(-ic_2 -ic_3) + (-4+i)c_2 + (-2+i)c_3 = 0$。

$c_2 + c_3 + (-4+i)c_2 + (-2+i)c_3 = 0$。

$(-3+i)c_2 + (-1+i)c_3 = 0$。

$c_3 = 0$とすると、$c_2 = 0$、 $c_1 = 0$ になるので、$c_3 \neq 0$ とする。

$c_2 = \frac{(1-i)}{(-3+i)} c_3$

$c_2 = \frac{(1-i)(-3-i)}{(-3+i)(-3-i)} c_3$

$c_2 = \frac{-3 -i +3i -1}{9+1} c_3 = \frac{-4+2i}{10}c_3 = \frac{-2+i}{5}c_3$

$c_1 = -i(\frac{-2+i}{5} c_3 + c_3) = -i(\frac{3+i}{5}c_3) = \frac{-3i+1}{5} c_3$

例えば、$c_3 = 5$ とすると、$c_2 = -2+i$、$c_1 = 1-3i$となる。

これは $c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3 = 0$ の解となるので、$a_1$, $a_2$, $a_3$ は線形従属である。

3. 最終的な答え

$a_1$ と $a_2$ は線形独立であり、$a_1$, $a_2$, $a_3$ は線形従属である。