異なる3つの実数 $a$, $b$, $c$ がこの順で等差数列をなし、$a$, $c$, $b$ の順で等比数列をなす。$a=4$ のとき、$c$ の値を求める。

1. 問題の内容

異なる3つの実数 $a$, $b$, $c$ がこの順で等差数列をなし、$a$, $c$, $b$ の順で等比数列をなす。$a=4$ のとき、$c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$a, b, c$ が等差数列をなすので、

$2b = a + c$ が成り立つ。

$a, c, b$ が等比数列をなすので、

$c^2 = ab$ が成り立つ。

$a=4$ のとき、

$2b = 4 + c$ より、$b = \frac{4+c}{2}$

$c^2 = 4b$

$b = \frac{4+c}{2}$ を $c^2 = 4b$ に代入すると、

$c^2 = 4 \cdot \frac{4+c}{2}$

$c^2 = 2(4+c)$

$c^2 = 8 + 2c$

$c^2 - 2c - 8 = 0$

$(c-4)(c+2) = 0$

$c = 4$ または $c = -2$

$a=4$ であり、問題文に「異なる3つの実数」と書いてあるので、$c=4$ は不適。

したがって、$c = -2$ である。

このとき、$b = \frac{4+(-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$a=4, b=1, c=-2$ は確かに異なり、

$4, 1, -2$ は等差数列 ($d=-3$) であり、

$4, -2, 1$ は等比数列 ($r=-1/2$) である。

3. 最終的な答え

$c = -2$