自然数 $n$ に対して、次の等式を数学的帰納法で証明する。 $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

1. 問題の内容

自然数 $n$ に対して、次の等式を数学的帰納法で証明する。

$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

2. 解き方の手順

(1) $n = 1$ のとき：

左辺 = $1^3 = 1$

右辺 = $\frac{1^2(1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$

よって、$n=1$ のとき等式は成り立つ。

(2) $n = k$ のとき、等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$

が成り立つと仮定する。

このとき、$n = k+1$ のときにも等式が成り立つことを示す。

$n = k+1$ のときの左辺は、

$1^3 + 2^3 + \cdots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$ (帰納法の仮定より)

$= \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4(k+1))}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k^2 + 4k + 4)}{4}$

$= \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

一方、$n = k+1$ のときの右辺は、

$\frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$

したがって、$n = k+1$ のときも等式は成り立つ。

(1), (2) より、すべての自然数 $n$ に対して、等式 $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ は成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての自然数 $n$ に対して、等式 $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ は成り立つ。