与えられた条件を満たす等差数列の一般項 $a_n$ を求める。 (1) 初項が -5, 第5項が 11 (2) 第3項が 1, 第7項が 2 (3) 第6項が -5, 初項から第6項までの和が 15

## 問題1

1. **問題の内容**

与えられた条件を満たす等差数列の一般項 $a_n$ を求める。

(1) 初項が -5, 第5項が 11

(2) 第3項が 1, 第7項が 2

(3) 第6項が -5, 初項から第6項までの和が 15

2. **解き方の手順**

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表される。ここで $a_1$ は初項、$d$ は公差である。

(1) 初項 $a_1 = -5$、第5項 $a_5 = 11$ が与えられている。

$a_5 = a_1 + 4d$ より、 $11 = -5 + 4d$。

$4d = 16$ なので、$d = 4$。

したがって、$a_n = -5 + (n-1)4 = 4n - 9$。

(2) 第3項 $a_3 = 1$、第7項 $a_7 = 2$ が与えられている。

$a_3 = a_1 + 2d = 1$

$a_7 = a_1 + 6d = 2$

連立方程式を解く。$a_7 - a_3 = 4d = 1$ なので、$d = \frac{1}{4}$。

$a_1 + 2(\frac{1}{4}) = 1$ より、$a_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。

したがって、$a_n = \frac{1}{2} + (n-1)\frac{1}{4} = \frac{1}{4}n + \frac{1}{4} = \frac{n+1}{4}$。

(3) 第6項 $a_6 = -5$、初項から第6項までの和 $S_6 = 15$ が与えられている。

$a_6 = a_1 + 5d = -5$

$S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + 5d) = 3(2a_1 + 5d) = 15$

$2a_1 + 5d = 5$

連立方程式を解く。$a_1 + 5d = -5$ を2倍して、$2a_1 + 10d = -10$。

$(2a_1 + 10d) - (2a_1 + 5d) = 5d = -15$ なので、$d = -3$。

$a_1 + 5(-3) = -5$ より、$a_1 = 10$。

したがって、$a_n = 10 + (n-1)(-3) = -3n + 13$。

3. **最終的な答え**

(1) $a_n = 4n - 9$

(2) $a_n = \frac{n+1}{4}$

(3) $a_n = -3n + 13$