数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} - a_n = n + 3$ (n = 1, 2, 3, ...) という漸化式を満たします。この数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} - a_n = n + 3$ (n = 1, 2, 3, ...) という漸化式を満たします。この数列の一般項 $a_n$ と、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} - a_n = n + 3$ から一般項 $a_n$ を求めます。

これは階差数列の問題なので、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k + 3)$ となります。

$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 3 = 3(n-1)$

よって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = 2 + \frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1) = 2 + \frac{n^2 - n}{2} + 3n - 3 = \frac{n^2 - n + 6n - 6 + 4}{2} = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$

$n = 1$ のとき、$a_1 = \frac{1 + 5 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ となり、$a_1 = 2$ と一致するので、$a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$ は全ての $n$ に対して成り立ちます。

次に、和 $S_n$ を求めます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2 + 5k - 2}{2} = \frac{1}{2} \left(\sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k - 2\sum_{k=1}^{n} 1\right)$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5 \frac{n(n+1)}{2} - 2n \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1) - 12n}{6} \right)$

$S_n = \frac{n}{12} \left( (n+1)(2n+1) + 15(n+1) - 12 \right) = \frac{n}{12} \left( 2n^2 + 3n + 1 + 15n + 15 - 12 \right) = \frac{n}{12} \left( 2n^2 + 18n + 4 \right) = \frac{n(n^2 + 9n + 2)}{6}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^2 + 5n - 2}{2}$

$S_n = \frac{n(n^2 + 9n + 2)}{6}$