与えられた連立一次方程式をガウス・ジョルダン消去法で解き、$x_1, x_2, x_3$ をパラメータ表示する問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $\begin{cases} x_1 - x_2 - 5x_3 = 3 \\ 6x_1 - 5x_2 - 9x_3 = 8 \\ 3x_1 + 48x_3 = -21 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式をガウス・ジョルダン消去法で解き、$x_1, x_2, x_3$ をパラメータ表示する問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$\begin{cases}

x_1 - x_2 - 5x_3 = 3 \\

6x_1 - 5x_2 - 9x_3 = 8 \\

3x_1 + 48x_3 = -21

\end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を拡大係数行列で表します。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -5 & 3 \\

6 & -5 & -9 & 8 \\

3 & 0 & 48 & -21

\end{bmatrix}$

次に、ガウス・ジョルダン消去法を用いてこの行列を簡約化します。

1. 2行目から1行目の6倍を引きます ($R_2 \rightarrow R_2 - 6R_1$)。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -5 & 3 \\

0 & 1 & 21 & -10 \\

3 & 0 & 48 & -21

\end{bmatrix}$

2. 3行目から1行目の3倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$)。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -5 & 3 \\

0 & 1 & 21 & -10 \\

0 & 3 & 63 & -30

\end{bmatrix}$

3. 3行目から2行目の3倍を引きます ($R_3 \rightarrow R_3 - 3R_2$)。

$\begin{bmatrix}

1 & -1 & -5 & 3 \\

0 & 1 & 21 & -10 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

4. 1行目に2行目を足します ($R_1 \rightarrow R_1 + R_2$)。

$\begin{bmatrix}

1 & 0 & 16 & -7 \\

0 & 1 & 21 & -10 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}$

簡約化された行列から、以下の式が得られます。

$x_1 + 16x_3 = -7$

$x_2 + 21x_3 = -10$

$x_3 = s$ と置くと、

$x_1 = -16s - 7$

$x_2 = -21s - 10$

$x_3 = s$

したがって、

$\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

-7 \\

-10 \\

0

\end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}

-16 \\

-21 \\

1

\end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix}

x_1 \\

x_2 \\

x_3

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

-7 \\

-10 \\

0

\end{bmatrix} + s \begin{bmatrix}

-16 \\

-21 \\

1

\end{bmatrix}$