問題文は「内分点、外分点の公式と証明」と書かれています。つまり、線分の内分点と外分点の座標を求める公式を導き、それを証明せよ、ということです。

1. 問題の内容

問題文は「内分点、外分点の公式と証明」と書かれています。つまり、線分の内分点と外分点の座標を求める公式を導き、それを証明せよ、ということです。

2. 解き方の手順

まずは、数直線上の2点 $A(a)$ と $B(b)$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標 $p$ を求めます。

内分点 $P$ は線分 $AB$ 上にあり、$AP:PB = m:n$ を満たします。したがって、

$AP = p - a$

$PB = b - p$

よって、$p - a : b - p = m : n$ が成り立ちます。比の性質より、$n(p - a) = m(b - p)$ となり、これを $p$ について解きます。

$np - na = mb - mp$

$np + mp = mb + na$

$(n + m)p = mb + na$

$p = \frac{mb + na}{m + n} = \frac{na + mb}{m + n}$

したがって、内分点 $P$ の座標 $p$ は

$p = \frac{na + mb}{m + n}$

次に、2点 $A(a)$ と $B(b)$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の座標 $q$ を求めます。ただし、$m \ne n$ とします。

外分点 $Q$ は線分 $AB$ の延長上にあり、$AQ:QB = m:n$ を満たします。

$AQ = |q - a|$

$QB = |q - b|$

外分には、点Bの先に外分点がある場合と、点Aの先に外分点がある場合の二通りがあります。

ここでは点Bの先に外分点がある場合について考えます（点Aの先に外分点がある場合も同様に議論できます）。

点Bの先に外分点がある場合、$q > b > a$ または $a > b > q$ となります。

この場合、$AQ = q - a$、$QB = q - b$ となり、$q - a : q - b = m : n$ が成り立ちます。

比の性質より、$n(q - a) = m(q - b)$ となり、これを $q$ について解きます。

$nq - na = mq - mb$

$nq - mq = na - mb$

$(n - m)q = na - mb$

$q = \frac{na - mb}{n - m} = \frac{-mb + na}{-m + n}$

したがって、外分点 $Q$ の座標 $q$ は

$q = \frac{-mb + na}{-m + n}$

3. 最終的な答え

内分点の座標：$\frac{na + mb}{m + n}$

外分点の座標：$\frac{-mb + na}{-m + n}$