複素数平面上の2点 $\alpha = x_1 + iy_1$ と $\beta = x_2 + iy_2$ を両端にもつ線分を $m:n$ に内分する点を $z$ とおくとき、$z$ を表す式を求める問題です。与えられた式は $z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$ です。

1. 問題の内容

複素数平面上の2点 $\alpha = x_1 + iy_1$ と $\beta = x_2 + iy_2$ を両端にもつ線分を $m:n$ に内分する点を $z$ とおくとき、$z$ を表す式を求める問題です。与えられた式は $z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$ です。

2. 解き方の手順

与えられた式 $z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$ に、$\alpha = x_1 + iy_1$ と $\beta = x_2 + iy_2$ を代入します。

$$z = \frac{n(x_1 + iy_1) + m(x_2 + iy_2)}{m+n}$$

分子を展開します。

$$z = \frac{nx_1 + niy_1 + mx_2 + miy_2}{m+n}$$

実部と虚部をまとめます。

$$z = \frac{(nx_1 + mx_2) + i(ny_1 + my_2)}{m+n}$$

実部と虚部に分けます。

$$z = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n} + i\frac{ny_1 + my_2}{m+n}$$

したがって、$z$ の実部は $\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$ であり、$z$ の虚部は $\frac{ny_1 + my_2}{m+n}$ です。

3. 最終的な答え

$z = \frac{n\alpha + m\beta}{m+n}$

または

$z = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n} + i\frac{ny_1 + my_2}{m+n}$