軸が $x=4$ である放物線が、2点 $(2, -3)$ と $(-2, 13)$ を通るとき、その放物線を表す2次関数を求める問題です。

1. 問題の内容

軸が $x=4$ である放物線が、2点 $(2, -3)$ と $(-2, 13)$ を通るとき、その放物線を表す2次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線の軸が $x=4$ なので、求める2次関数は、

$y = a(x-4)^2 + q$

と表すことができます。ここに、与えられた2点 $(2, -3)$ と $(-2, 13)$ の座標を代入して、$a$ と $q$ の値を求めます。

まず、点 $(2, -3)$ を代入すると、

$-3 = a(2-4)^2 + q$

$-3 = 4a + q$ ...(1)

次に、点 $(-2, 13)$ を代入すると、

$13 = a(-2-4)^2 + q$

$13 = 36a + q$ ...(2)

(2) - (1) より、

$13 - (-3) = 36a - 4a + q - q$

$16 = 32a$

$a = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2}$ を (1) に代入すると、

$-3 = 4(\frac{1}{2}) + q$

$-3 = 2 + q$

$q = -5$

したがって、求める2次関数は、

$y = \frac{1}{2}(x-4)^2 - 5$

展開すると、

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16) - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 8 - 5$

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 3$