この問題は、与えられた条件の下で様々な物理量を計算したり、運動方程式を導出したりするものです。具体的には、ベクトルAとBの分解、四面体の体積計算、物体の位置ベクトルから速度、加速度、運動エネルギーを求め、最後に電場と磁場中の荷電粒子の運動方程式を導出するというものです。

1. 問題の内容

この問題は、与えられた条件の下で様々な物理量を計算したり、運動方程式を導出したりするものです。具体的には、ベクトルAとBの分解、四面体の体積計算、物体の位置ベクトルから速度、加速度、運動エネルギーを求め、最後に電場と磁場中の荷電粒子の運動方程式を導出するというものです。

2. 解き方の手順

問題4を解きます。

与えられた運動方程式は、

$m \frac{dv}{dt} = q(E + v \times B)$

また、$v$は次のように与えられます。

$v = w + \frac{E \times B}{B^2}$

これを時間で微分すると、

$\frac{dv}{dt} = \frac{dw}{dt} + \frac{d}{dt}(\frac{E \times B}{B^2}) = \frac{dw}{dt}$

ここで、$E$と$B$は時間的に変化しないと仮定しています。

これを運動方程式に代入すると、

$m \frac{dw}{dt} = q(E + (w + \frac{E \times B}{B^2}) \times B)$

右辺を展開すると、

$m \frac{dw}{dt} = q(E + w \times B + \frac{E \times B}{B^2} \times B)$

ベクトルの三重積の公式 $A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$ を用いると、

$\frac{E \times B}{B^2} \times B = \frac{1}{B^2} (E (B \cdot B) - B (E \cdot B)) = E - \frac{B(E \cdot B)}{B^2}$

なぜなら $B \cdot B = |B|^2 = B^2$。

問題文より、$E$と$B$は直交するので、$E \cdot B = 0$となります。

したがって、

$\frac{E \times B}{B^2} \times B = E$

これを代入すると、

$m \frac{dw}{dt} = q(E + w \times B + E) = q (w \times B)$

したがって、

$m \frac{dw}{dt} = q(w \times B)$

3. 最終的な答え

$w$についての運動方程式は、

$m \frac{dw}{dt} = q(w \times B)$