与えられた関数 $z = \log(x^2 + y^2)$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 曲面 $z = \log(x^2 + y^2)$ のグラフを描き、曲線 $z = \log x$ との関係について説明します。 (2) $x = y = 1$ において、$x$ が 0.002 増加し、$y$ が 0.001 減少するとき、$z$ がどれだけ変化するかを求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z = \log(x^2 + y^2)$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 曲面 $z = \log(x^2 + y^2)$ のグラフを描き、曲線 $z = \log x$ との関係について説明します。

(2) $x = y = 1$ において、$x$ が 0.002 増加し、$y$ が 0.001 減少するとき、$z$ がどれだけ変化するかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフの概形と関係性について

- 曲面 $z = \log(x^2 + y^2)$ のグラフは、原点 (0, 0) を中心とする円の半径の二乗の対数として表現されます。つまり、(x, y) が原点から遠ざかるほど z の値は大きくなります。グラフは、原点から離れるほど高くなる回転対称な曲面となります。

- 曲線 $z = \log x$ との関係ですが、この曲面は x-y 平面内の円に対して $z = \log x$ のグラフを回転させたものと考えることができます。具体的には、$r = \sqrt{x^2 + y^2}$ と置き換えることで、$z = \log r^2 = 2\log r$ となり、$z = \log x$ のグラフをスケール変換（2倍）して回転させたものと類似しています。ただし、$z=\log x$ は$x>0$のみ定義されるのに対し、$z = \log(x^2 + y^2)$ は $(x,y) \ne (0,0)$ で定義される点が異なります。

(2) z の変化量の計算

- 全微分を用いて、$z$ の変化量 $\Delta z$ を近似します。

- $z$ の $x$ に関する偏微分 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と、$y$ に関する偏微分 $\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算します。

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\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}

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\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2}

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- 全微分は次の式で与えられます。

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\Delta z \approx \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y

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- $x = y = 1$, $\Delta x = 0.002$, $\Delta y = -0.001$ を代入します。

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\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr|_{(1,1)} = \frac{2(1)}{1^2 + 1^2} = 1

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\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr|_{(1,1)} = \frac{2(1)}{1^2 + 1^2} = 1

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- $\Delta z$ を計算します。

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\Delta z \approx (1)(0.002) + (1)(-0.001) = 0.002 - 0.001 = 0.001

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3. 最終的な答え

(1) 曲面 $z = \log(x^2 + y^2)$ のグラフは、原点から離れるほど高くなる回転対称な曲面である。この曲面は x-y 平面内の円に対して $z = \log x$ のグラフをスケール変換して回転させたものと類似している。

(2) $z$ の変化量 $\Delta z$ は約 0.001 である。