$0 \le \theta < \pi$ のとき、不等式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{1}{2}$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < \pi$ のとき、不等式 $\sin(2\theta + \frac{\pi}{6}) \le -\frac{1}{2}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2\theta + \frac{\pi}{6}$ とおく。

$\theta$ の範囲が $0 \le \theta < \pi$ なので、$t$ の範囲は $\frac{\pi}{6} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ となる。

$\sin t \le -\frac{1}{2}$ を満たす $t$ の範囲を求める。

$\sin t = -\frac{1}{2}$ となる $t$ は、単位円上で考えれば、$t = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$ である。

したがって、$\sin t \le -\frac{1}{2}$ を満たす $t$ の範囲は、

$\frac{7\pi}{6} \le t \le \frac{11\pi}{6}$

$t = 2\theta + \frac{\pi}{6}$ なので、

$\frac{7\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{11\pi}{6}$

各辺から $\frac{\pi}{6}$ を引くと、

$\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \le 2\theta \le \frac{11\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{6\pi}{6} \le 2\theta \le \frac{10\pi}{6}$

$\pi \le 2\theta \le \frac{5\pi}{3}$

各辺を2で割ると、

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \le t < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ と $\frac{7\pi}{6} \le t \le \frac{11\pi}{6}$ の共通範囲を考えると、

$\frac{7\pi}{6} \le t \le \frac{11\pi}{6}$

また、$\sin t$ は $2\pi$ 周期なので

$\frac{7\pi}{6}+2\pi \le t \le \frac{11\pi}{6}+2\pi$ も考慮する必要があるが、$t < 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ なので考慮する必要はない。

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{5\pi}{6}$