与えられた2つの2次対称行列を直交行列を用いて対角化する問題です。具体的には、 (1) $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ (2) $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ をそれぞれ対角化します。

1. 問題の内容

与えられた2つの2次対称行列を直交行列を用いて対角化する問題です。具体的には、

(1) $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$

をそれぞれ対角化します。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ の場合：

1. 固有値を求める。固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & 2 \\ 2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)^2 - 4 = \lambda^2 - 8\lambda + 12 = (\lambda - 2)(\lambda - 6) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 6$ である。

2. 各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

- $\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_1 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$ より、$x = -y$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ となる。これを正規化すると、 $u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

- $\lambda_2 = 6$ のとき、$(A - 6I)v_2 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-2x + 2y = 0$ より、$x = y$。固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。これを正規化すると、 $u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

3. 正規直交化した固有ベクトルを列ベクトルとする直交行列 $P$ を作る。

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

4. 対角化された行列 $D$ を求める。$D = P^{-1}AP = P^TAP$（$P$が直交行列なので）。

$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ の場合：

1. 固有値を求める。固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$\begin{vmatrix} -\lambda & 4 \\ 4 & 6-\lambda \end{vmatrix} = -\lambda(6-\lambda) - 16 = \lambda^2 - 6\lambda - 16 = (\lambda - 8)(\lambda + 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 8$ と $\lambda_2 = -2$ である。

2. 各固有値に対応する固有ベクトルを求める。

- $\lambda_1 = 8$ のとき、$(A - 8I)v_1 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} -8 & 4 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-8x + 4y = 0$ より、$y = 2x$。固有ベクトルは $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ となる。これを正規化すると、 $u_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$。

- $\lambda_2 = -2$ のとき、$(A + 2I)v_2 = 0$ を解く。

$\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x + 4y = 0$ より、$x = -2y$。固有ベクトルは $v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる。これを正規化すると、 $u_2 = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$。

3. 正規直交化した固有ベクトルを列ベクトルとする直交行列 $P$ を作る。

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$

4. 対角化された行列 $D$ を求める。$D = P^{-1}AP = P^TAP$（$P$が直交行列なので）。

$D = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 直交行列 $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ で $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ を対角化すると、$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}$ となる。

(2) 直交行列 $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$ で $A = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}$ を対角化すると、$D = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ となる。