2次正方行列 $A$ による一次変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ によって、xy平面上の点 $(1,0)$ は $(1,3)$ に、$(0,1)$ は $(2,4)$ に移される。 (1) 行列 $A$ を求める。 (2) xy平面上の点 $(1,2)$ が一次変換 $f_A$ により移される点を求める。 (3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。 2次正方行列 $B$ による一次変換 $f_B: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は、一次変換 $f_A$ と、x座標を3倍し、y座標を2倍する一次変換 $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の合成 $g \circ f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ とする。 (4) 行列 $B$ を求める。 (5) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A$ による一次変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ によって、xy平面上の点 $(1,0)$ は $(1,3)$ に、$(0,1)$ は $(2,4)$ に移される。

(1) 行列 $A$ を求める。

(2) xy平面上の点 $(1,2)$ が一次変換 $f_A$ により移される点を求める。

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

2次正方行列 $B$ による一次変換 $f_B: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は、一次変換 $f_A$ と、x座標を3倍し、y座標を2倍する一次変換 $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の合成 $g \circ f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ とする。

(4) 行列 $B$ を求める。

(5) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ を求める。

$(1,0)$ が $(1,3)$ に、$(0,1)$ が $(2,4)$ に移されることから、行列 $A$ は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(2) 点 $(1,2)$ が $f_A$ によって移される点を求める。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 \\ 3+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$

したがって、$(1,2)$ は $(5,11)$ に移される。

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ のとき、$\det(A) = 1\times4 - 2\times3 = 4-6 = -2$。

したがって、

$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(4) 行列 $B$ を求める。

一次変換 $g$ は x座標を3倍、y座標を2倍する変換なので、対応する行列を $G$ とすると、

$G = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$f_B = g \circ f_A$ であるから、対応する行列 $B$ は

$B = GA = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

(5) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求める。

$B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$ のとき、$\det(B) = 3\times8 - 6\times6 = 24-36 = -12$。

したがって、

$B^{-1} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $(5,11)$

(3) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(4) $B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

(5) $B^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}$