与えられた写像 $f$ が線形写像であるかどうかを判定し、その理由を述べる問題です。 (1) $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto x + 3y$ (2) $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto x^2 + 3y$

1. 問題の内容

与えられた写像 $f$ が線形写像であるかどうかを判定し、その理由を述べる問題です。

(1) $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto x + 3y$

(2) $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \mapsto x^2 + 3y$

2. 解き方の手順

線形写像であるための条件は、以下の2つを満たすことです。

(i) $f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ (加法性)

(ii) $f(c\mathbf{u}) = cf(\mathbf{u})$ (斉次性)

(1)の場合：

$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ とすると、

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f\left(\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}\right) = (x_1 + x_2) + 3(y_1 + y_2) = (x_1 + 3y_1) + (x_2 + 3y_2) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$

よって、加法性は満たされます。

$c$ をスカラーとすると、

$f(c\mathbf{u}) = f\left(\begin{pmatrix} cx_1 \\ cy_1 \end{pmatrix}\right) = cx_1 + 3(cy_1) = c(x_1 + 3y_1) = cf(\mathbf{u})$

よって、斉次性も満たされます。

したがって、$f$ は線形写像です。

(2)の場合：

$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ とすると、

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f\left(\begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \end{pmatrix}\right) = (x_1 + x_2)^2 + 3(y_1 + y_2) = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + 3y_1 + 3y_2$

$f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) = (x_1^2 + 3y_1) + (x_2^2 + 3y_2) = x_1^2 + x_2^2 + 3y_1 + 3y_2$

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \ne f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$ です ($2x_1x_2 \ne 0$ の場合)。

例えば、$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ とすると、

$f(\mathbf{u}) = 1^2 + 3(0) = 1$

$f(\mathbf{v}) = 1^2 + 3(0) = 1$

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\right) = 2^2 + 3(0) = 4$

$f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) = 1 + 1 = 2$

$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \ne f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$

したがって、$f$ は線形写像ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 線形写像である。理由は、加法性と斉次性を満たすから。

(2) 線形写像ではない。理由は、加法性を満たさないから。