2次正方行列 $A$ による一次変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ により、xy平面上の点 $(1,0), (0,1)$ はそれぞれ $(1,3), (2,4)$ に移される。 (1) 行列 $A$ を求めよ。 (2) xy平面上の点 $(1,2)$ が一次変換 $f_A$ により移される点を求めよ。 (3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。 2次正方行列 $B$ による一次変換 $f_B: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は、一次変換 $f_A$ と、$x$ 座標を3倍し、$y$ 座標を2倍する一次変換 $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の合成 $g \circ f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ とする。 (4) 行列 $B$ を求めよ。 (5) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A$ による一次変換 $f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ により、xy平面上の点 $(1,0), (0,1)$ はそれぞれ $(1,3), (2,4)$ に移される。

(1) 行列 $A$ を求めよ。

(2) xy平面上の点 $(1,2)$ が一次変換 $f_A$ により移される点を求めよ。

(3) 行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めよ。

2次正方行列 $B$ による一次変換 $f_B: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ は、一次変換 $f_A$ と、$x$ 座標を3倍し、$y$ 座標を2倍する一次変換 $g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の合成 $g \circ f_A: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ とする。

(4) 行列 $B$ を求めよ。

(5) 行列 $B$ の逆行列 $B^{-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

行列 $A$ を

$$

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

$$

とおく。$(1,0)$ が $(1,3)$ に移されることから

$$

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

よって $a=1, c=3$ 。

$(0,1)$ が $(2,4)$ に移されることから

$$

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}

$$

よって $b=2, d=4$ 。

したがって

$$

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}

$$

(2)

点 $(1,2)$ が移される点は

$$

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}

$$

(3)

行列 $A$ の逆行列は

$$

A^{-1} = \frac{1}{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

$$

(4)

$x$ 座標を3倍し、$y$ 座標を2倍する一次変換 $g$ に対応する行列を $G$ とすると

$$

G = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

$$

したがって、$B = GA$ なので

$$

B = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 0 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 0 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}

$$

(5)

行列 $B$ の逆行列は

$$

B^{-1} = \frac{1}{3 \cdot 8 - 6 \cdot 6} \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} 8 & -6 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(2) $(5, 11)$

(3) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(4) $B = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

(5) $B^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{3} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \end{pmatrix}$