(1) 多項式 $x^3 + 5x^2 + ax + 3$ を $x+1$ で割ったときの余りが $4$ であるとき、$a$ の値を求めます。 (2) 多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ を $x-1$ および $x-2$ で割ったときの余りが等しくなるように、$a$ の値を定めます。

1. 問題の内容

(1) 多項式 $x^3 + 5x^2 + ax + 3$ を $x+1$ で割ったときの余りが $4$ であるとき、$a$ の値を求めます。

(2) 多項式 $x^3 + ax^2 - 4x + 3$ を $x-1$ および $x-2$ で割ったときの余りが等しくなるように、$a$ の値を定めます。

2. 解き方の手順

(1) 剰余の定理より、$x^3 + 5x^2 + ax + 3$ を $x+1$ で割った余りは、 $x = -1$ を代入した値に等しくなります。

したがって、

$(-1)^3 + 5(-1)^2 + a(-1) + 3 = 4$

$-1 + 5 - a + 3 = 4$

$7 - a = 4$

$a = 3$

(2) 剰余の定理より、$x^3 + ax^2 - 4x + 3$ を $x-1$ で割った余りは、$x = 1$ を代入した値に等しく、 $x-2$ で割った余りは $x = 2$ を代入した値に等しくなります。

それぞれの余りを $R_1$, $R_2$ とすると、

$R_1 = (1)^3 + a(1)^2 - 4(1) + 3 = 1 + a - 4 + 3 = a$

$R_2 = (2)^3 + a(2)^2 - 4(2) + 3 = 8 + 4a - 8 + 3 = 4a + 3$

余りが等しいので、$R_1 = R_2$ となります。

$a = 4a + 3$

$-3a = 3$

$a = -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$

(2) $a = -1$