問題は、例25の(1)が成り立つことを、以下の二つの場合に数直線を用いて確認することです。 (1) $a < 0$, $b < 0$ (2) $a < 0$, $b > 0$ ここでは、例25の(1)が何かを仮定する必要があります。教科書的に、例25の(1)は $|a+b| \le |a| + |b|$ を意味すると仮定します。 これは三角不等式と呼ばれるものです。

1. 問題の内容

問題は、例25の(1)が成り立つことを、以下の二つの場合に数直線を用いて確認することです。

(1) $a < 0$, $b < 0$

(2) $a < 0$, $b > 0$

ここでは、例25の(1)が何かを仮定する必要があります。教科書的に、例25の(1)は $|a+b| \le |a| + |b|$ を意味すると仮定します。 これは三角不等式と呼ばれるものです。

2. 解き方の手順

(1) $a < 0$, $b < 0$ の場合

このとき、$a+b < 0$ なので、$|a+b| = -(a+b) = -a - b$ です。

また、$|a| = -a$ であり、$|b| = -b$ なので、$|a| + |b| = -a - b$ です。

したがって、$|a+b| = |a| + |b|$ が成り立ち、$|a+b| \le |a| + |b|$ も成り立ちます。

数直線で考えると、$a$ と $b$ は共に原点より左にあります。$a+b$ も原点より左にあり、その絶対値は $|a|$ と $|b|$ の絶対値の和に等しいです。

(2) $a < 0$, $b > 0$ の場合

このとき、$a+b$ の符号は、$|a|$ と $|b|$ の大小関係によって変わります。

(i) $|a| > |b|$ のとき、$a+b < 0$ なので、$|a+b| = -(a+b) = -a - b$ です。

また、$|a| = -a$ であり、$|b| = b$ なので、$|a| + |b| = -a + b$ です。

このとき、$|a+b| - (|a| + |b|) = (-a-b) - (-a+b) = -2b < 0$ となるので、$|a+b| < |a| + |b|$ が成り立ちます。

(ii) $|a| < |b|$ のとき、$a+b > 0$ なので、$|a+b| = a+b$ です。

また、$|a| = -a$ であり、$|b| = b$ なので、$|a| + |b| = -a + b$ です。

このとき、$|a+b| - (|a| + |b|) = (a+b) - (-a+b) = 2a < 0$ となるので、$|a+b| < |a| + |b|$ が成り立ちます。

(iii) $|a| = |b|$ のとき、$a+b = 0$ なので、$|a+b| = 0$ です。

また、$|a| = |b| = -a = b$ なので、$|a| + |b| = -a + b = 2b > 0$ です。

このとき、$|a+b| < |a| + |b|$ が成り立ちます。

いずれの場合も、$|a+b| \le |a| + |b|$ が成り立ちます。

数直線で考えると、$a$ は原点より左にあり、$b$ は原点より右にあります。$a+b$ は、$a$ と $b$ の位置関係によって原点の左右どちらにあるかが決まりますが、常に $|a+b|$ は $|a|$ と $|b|$ の和より小さくなることがわかります。

3. 最終的な答え

(1) $a < 0$, $b < 0$ の場合、$|a+b| = |a| + |b|$ が成り立ち、$|a+b| \le |a| + |b|$ も成り立つ。

(2) $a < 0$, $b > 0$ の場合、$|a+b| \le |a| + |b|$ が成り立つ。