画像には複数の問題が含まれていますが、ここでは問題(4)の(1)と(2)を解きます。 (4)(1): $(2x-3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。 (4)(2): $(a+b+c)^7$ の展開式における $a^2b^2c^3$ の係数を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には複数の問題が含まれていますが、ここでは問題(4)の(1)と(2)を解きます。

(4)(1): $(2x-3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求めよ。

(4)(2): $(a+b+c)^7$ の展開式における $a^2b^2c^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(4)(1): 二項定理を使います。$(2x-3)^4$ の展開式は次のようになります。

$(2x-3)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^k (-3)^{4-k}$

$x^3$ の係数は、$k=3$ の項に対応します。したがって、

$\binom{4}{3} (2x)^3 (-3)^{4-3} = \binom{4}{3} (8x^3) (-3) = 4 \cdot 8x^3 \cdot (-3) = -96x^3$

したがって、$x^3$ の係数は-96です。

(4)(2): 多項定理を使います。$(a+b+c)^7$ の展開式は次のようになります。

$(a+b+c)^7 = \sum_{i+j+k=7} \binom{7}{i,j,k} a^i b^j c^k$

ここで、$\binom{7}{i,j,k} = \frac{7!}{i!j!k!}$ です。

$a^2b^2c^3$ の係数は、$i=2, j=2, k=3$ の項に対応します。したがって、

$\binom{7}{2,2,3} a^2b^2c^3 = \frac{7!}{2!2!3!} a^2b^2c^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} a^2b^2c^3 = \frac{5040}{24} a^2b^2c^3 = 210 a^2b^2c^3$

したがって、$a^2b^2c^3$ の係数は210です。

3. 最終的な答え

(4)(1): $x^3$ の係数は -96。

(4)(2): $a^2b^2c^3$ の係数は 210。