2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、以下の関係が成り立ちます。

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

与えられた2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ について、$a = 1, b = -3, c = 1$ であるため、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{1} = 3$

$\alpha \beta = \frac{1}{1} = 1$

次に、$\alpha^2 + \beta^2$ を $(\alpha + \beta)$ と $(\alpha \beta)$ を用いて表します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$

これに$\alpha + \beta = 3$ と $\alpha \beta = 1$ を代入すると、

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = 7$