2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

解と係数の関係を利用します。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

が成り立ちます。

与えられた2次方程式 $x^2 - 3x + 1 = 0$ について、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{1} = 3$

$\alpha \beta = \frac{1}{1} = 1$

$\alpha^2 + \beta^2$ を求めます。

$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$

より

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$

3. 最終的な答え

$\alpha^2 + \beta^2 = 7$