1辺が24cmの正方形の紙の四隅から、1辺が $x$ cmの正方形を切り取り、残りを折り曲げてふたのない高さ $x$ cmの直方体の箱を作ります。箱の容積を $y$ cm$^3$とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $x$ の値の範囲を求めます。 (2) $y$ を $x$ の式で表します。 (3) (1) の範囲における増減表を完成させます。 (4) 容積を最大にする $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

1辺が24cmの正方形の紙の四隅から、1辺が $x$ cmの正方形を切り取り、残りを折り曲げてふたのない高さ $x$ cmの直方体の箱を作ります。箱の容積を $y$ cm$^3$とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $x$ の値の範囲を求めます。

(2) $y$ を $x$ の式で表します。

(3) (1) の範囲における増減表を完成させます。

(4) 容積を最大にする $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x$ の範囲について

$x$ は正である必要があるので、$x > 0$。また、$x$ が大きすぎると箱を作ることができない。1辺24cmの正方形の各辺から $x$ cmずつ切り取るので、$2x < 24$ である必要がある。したがって、$x < 12$。

したがって、$0 < x < 12$。

(2) $y$ を $x$ の式で表す

箱の底面は、1辺が $(24 - 2x)$ cmの正方形である。したがって、底面積は $(24 - 2x)^2$ cm$^2$。箱の高さは $x$ cmなので、容積 $y$ は、

$y = x(24 - 2x)^2$

$y = x(576 - 96x + 4x^2)$

$y = 4x^3 - 96x^2 + 576x$

(3) 増減表を完成させる

$y' = 12x^2 - 192x + 576$

$y' = 12(x^2 - 16x + 48)$

$y' = 12(x - 4)(x - 12)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 4, 12$。

しかし、$0 < x < 12$ なので、$x = 4$ のみ考える。

増減表は以下のようになる。

| $x$ | 0 | $\cdots$ | 4 | $\cdots$ | 12 |

|---|---|---|---|---|---|

| $y'$ | | + | 0 | - | |

| $y$ | | 増加 | 極大 | 減少 | |

$x = 4$ のとき、$y = 4(24 - 2 \times 4)^2 = 4(16)^2 = 4 \times 256 = 1024$

(4) 容積を最大にする $x$ の値を求める

増減表から、$x = 4$ のとき容積が最大となる。

3. 最終的な答え

(1) ア：0, イ：12

(2) $y = 4x^3 - 96x^2 + 576x$

(3) ア：0, ウ：4, イ：12, エ：1024

(4) $x = 4$