与えられた連立1次方程式 $ \begin{cases} x + 3y + 3z = 0 \\ 2x + 7y + 8z = 0 \\ 4x + 10y + az = 0 \end{cases} $ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) この連立1次方程式が自明でない解を持つような実数 $a$ の値を求めます。 (2) (1) で求めた $a$ の値を用いて、連立1次方程式の解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立1次方程式

$$

\begin{cases}

x + 3y + 3z = 0 \\

2x + 7y + 8z = 0 \\

4x + 10y + az = 0

\end{cases}

$$

について、以下の2つの問いに答えます。

(1) この連立1次方程式が自明でない解を持つような実数 $a$ の値を求めます。

(2) (1) で求めた $a$ の値を用いて、連立1次方程式の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 連立1次方程式が自明でない解を持つためには、係数行列の行列式が0である必要があります。係数行列は

$$

\begin{pmatrix}

1 & 3 & 3 \\

2 & 7 & 8 \\

4 & 10 & a

\end{pmatrix}

$$

なので、この行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

1 & 3 & 3 \\

2 & 7 & 8 \\

4 & 10 & a

\end{vmatrix} = 1(7a - 80) - 3(2a - 32) + 3(20 - 28) = 7a - 80 - 6a + 96 + 3(-8) = a - 80 + 96 - 24 = a - 8

$$

したがって、$a - 8 = 0$ より、$a = 8$ となります。

(2) $a = 8$ のとき、連立1次方程式は

$$

\begin{cases}

x + 3y + 3z = 0 \\

2x + 7y + 8z = 0 \\

4x + 10y + 8z = 0

\end{cases}

$$

となります。

第3式から第2式の2倍を引くと、$4x+10y+8z - 2(2x+7y+8z)=4x+10y+8z-4x-14y-16z = -4y - 8z = 0$となり、$y = -2z$が得られます。

これを第1式に代入すると、$x + 3(-2z) + 3z = 0$ より、$x - 6z + 3z = 0$、$x = 3z$となります。

したがって、解は

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

3z \\ -2z \\ z

\end{pmatrix} = z

\begin{pmatrix}

3 \\ -2 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

となります。ここで $z = k$ とおくと、

$$

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix} = k

\begin{pmatrix}

3 \\ -2 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 8$

(2) 解は $k\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ と表され、選択肢5が該当します。