与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を求めます。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3 \\ 9 & 4 & 7 & -8 \\ 3 & 0 & -8 & 9 \\ 8 & 3 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

## 問題1

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 & -3 \\ 9 & 4 & 7 & -8 \\ 3 & 0 & -8 & 9 \\ 8 & 3 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

画像の例に従って計算します。

2列目に注目して変形していく方法で計算を進めます。

ただし、画像には途中計算の誤りが見られるため、正しい計算を以下に示します。

$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 & -3 \\ 9 & 4 & 7 & -8 \\ 3 & 0 & -8 & 9 \\ 8 & 3 & 5 & -2 \end{vmatrix}$

まず2列目を基準にして他の列を0に近づけます。

1列目を1倍して2列目から引く、3列目を2倍して2列目から引く、4列目を-3倍して2列目から引く操作を行います。

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 5 & 4 & -1 & 4 \\ 3 & 0 & -8 & 9 \\ 5 & 3 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

次に1行目を基準にして1列目を0に近づけます。1列目を1行目から引く操作を行います。

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & -1 & -1 & 4 \\ 3 & -3 & -8 & 9 \\ 5 & -2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

これで第一行だけを展開すると、

$|A| = \begin{vmatrix} -1 & -1 & 4 \\ -3 & -8 & 9 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$

さらに計算すると

$|A| = (-1)*(-8*1 - 9*(-1)) - (-1)*(-3*1 - 9*(-2)) + 4*(-3*(-1) - (-8)*(-2))$

$|A| = (-1)*(-8+9) + 1*(-3+18) + 4*(3-16)$

$|A| = -1 + 15 + 4*(-13) = 14 - 52 = -38$

3. 最終的な答え

-38

## 問題2

1. 問題の内容

与えられた行列式が0となるようなスカラー $x$ を全て求めます。

$\begin{vmatrix} x+3 & -2 & 4 \\ -3 & x+1 & 1 \\ -5 & 2 & x-6 \end{vmatrix} = 0$

2. 解き方の手順

問題文のヒントにある通り、1行目に3行目を加えます。

$\begin{vmatrix} x-2 & 0 & x-2 \\ -3 & x+1 & 1 \\ -5 & 2 & x-6 \end{vmatrix} = 0$

1行目の $x-2$ でくくります。

$(x-2)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -3 & x+1 & 1 \\ -5 & 2 & x-6 \end{vmatrix} = 0$

1列目を基準にして3列目を0に近づけます。

3列目から1列目を引く操作を行います。

$(x-2)\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & x+1 & 4 \\ -5 & 2 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

1行目で展開します。

$(x-2)\begin{vmatrix} x+1 & 4 \\ 2 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

$(x-2)((x+1)(x-1) - 4*2) = 0$

$(x-2)(x^2-1-8) = 0$

$(x-2)(x^2-9) = 0$

$(x-2)(x-3)(x+3) = 0$

したがって、$x=2, 3, -3$

3. 最終的な答え

x = 2, 3, -3