$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $m \times l$ 行列とし、列ベクトルへの分割を $B = [b_1, \dots, b_l]$ とする。このとき、$\text{rank}[A, B] = \text{rank} A$ であるための必要十分条件は、すべての $j = 1, \dots, l$ に対して $\text{rank}[A, b_j] = \text{rank} A$ であることを示す。ヒントとして、$\text{rank}[A, B] \geq \text{rank}[A, b_j] \geq \text{rank} A$ が常に成り立つことが与えられている。

1. 問題の内容

$A$ を $m \times n$ 行列、$B$ を $m \times l$ 行列とし、列ベクトルへの分割を $B = [b_1, \dots, b_l]$ とする。このとき、$\text{rank}[A, B] = \text{rank} A$ であるための必要十分条件は、すべての $j = 1, \dots, l$ に対して $\text{rank}[A, b_j] = \text{rank} A$ であることを示す。ヒントとして、$\text{rank}[A, B] \geq \text{rank}[A, b_j] \geq \text{rank} A$ が常に成り立つことが与えられている。

2. 解き方の手順

**必要性:**

$\text{rank}[A, B] = \text{rank} A$ を仮定する。

ヒントより、$\text{rank}[A, B] \geq \text{rank}[A, b_j] \geq \text{rank} A$ が成り立つ。仮定より $\text{rank}[A, B] = \text{rank} A$ であるから、

$\text{rank} A \geq \text{rank}[A, b_j] \geq \text{rank} A$ が成り立つ。

したがって、すべての $j$ に対して $\text{rank}[A, b_j] = \text{rank} A$ が成り立つ。

**十分性:**

すべての $j = 1, \dots, l$ に対して $\text{rank}[A, b_j] = \text{rank} A$ を仮定する。

$B = [b_1, \dots, b_l]$ であるから、$\text{rank}[A, B]$ は行列 $A$ の列ベクトルと行列 $B$ の列ベクトルを並べてできる行列のランクである。仮定より、各 $b_j$ は $A$ の列ベクトルの線形結合で表せる。つまり、$b_j$ は $A$ の列空間に含まれる。

したがって、$B$ のすべての列ベクトルは $A$ の列空間に含まれるため、$A$ の列空間と $B$ の列空間を合わせた列空間は、$A$ の列空間と一致する。

よって、$\text{rank}[A, B] = \text{rank} A$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\text{rank}[A, B] = \text{rank} A$ であるための必要十分条件は、すべての $j = 1, \dots, l$ に対して $\text{rank}[A, b_j] = \text{rank} A$ である。