$n$ 次正方行列 $A, B$ に対して、積 $AB$ が正則行列であるための必要十分条件が、$A$ かつ $B$ が正則行列であることであることを証明する。

1. 問題の内容

$n$ 次正方行列 $A, B$ に対して、積 $AB$ が正則行列であるための必要十分条件が、$A$ かつ $B$ が正則行列であることであることを証明する。

2. 解き方の手順

必要十分条件を示すためには、十分条件と必要条件の両方を示す必要がある。

(1) 十分条件：$A$ と $B$ がともに正則行列であるとき、$AB$ が正則行列であることを示す。

$A$ と $B$ が正則行列であるので、それぞれ逆行列 $A^{-1}$ と $B^{-1}$ が存在する。

このとき、行列 $(B^{-1}A^{-1})$ は $AB$ の逆行列となる。なぜなら、

$$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$$

および

$$(B^{-1}A^{-1})(AB) = B^{-1}(A^{-1}A)B = B^{-1}IB = B^{-1}B = I$$

ここで、$I$ は単位行列である。

したがって、$AB$ は逆行列 $B^{-1}A^{-1}$ を持つので、$AB$ は正則行列である。

(2) 必要条件：$AB$ が正則行列であるとき、$A$ と $B$ がともに正則行列であることを示す。

$AB$ が正則行列であると仮定する。このとき、$AB$ の逆行列 $(AB)^{-1}$ が存在する。

ここで、$A$ または $B$ が正則でないと仮定すると、$\det(A) = 0$ または $\det(B) = 0$ となる。

行列式の性質より、$\det(AB) = \det(A)\det(B)$ である。したがって、$\det(AB) = 0$ となり、$AB$ は正則でない。これは仮定に矛盾する。

したがって、$A$ と $B$ はともに正則行列でなければならない。

あるいは、ランクの性質を使う。

$AB$ が正則なので $rank(AB) = n$。

$rank(AB) \leq min\{rank(A), rank(B)\}$ であるから、$rank(A) = n$ かつ $rank(B) = n$ でなければならない。

よって、$A$ と $B$ はともに正則である。

3. 最終的な答え

$n$ 次正方行列 $A, B$ に対して、積 $AB$ が正則行列であるための必要十分条件は、$A$ かつ $B$ が正則行列である。