与えられた行列の逆行列を求める問題です。ただし、行列の種類やサイズ、条件が異なるものが複数あります。

はい、承知いたしました。画像にある問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた行列の逆行列を求める問題です。ただし、行列の種類やサイズ、条件が異なるものが複数あります。

2. 解き方の手順

(1) O (零行列):

零行列は正則ではないため、逆行列は存在しません。なぜなら、零行列とどんな行列の積も零行列にしかならず、単位行列にならないからです。

(2) E (単位行列):

単位行列の逆行列は単位行列自身です。 $E \cdot E = E$ であるため、逆行列の定義を満たします。

(3) 正則な行列 A, B に対して、AB:

正則な行列 A, B に対し、AB の逆行列は $B^{-1}A^{-1}$ です。

$(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = E$ となり、逆行列の定義を満たします。

(4) 正則な行列 A, B に対して、A + B:

A + B が正則かどうかは、A, B に依存します。A + B が正則とは限らないため、一般に逆行列は求められません。与えられた条件だけでは何もわかりません。

(5) (1 2):

これは $1 \times 2$ の行列であるため、正方行列ではありません。したがって逆行列は存在しません。

(6)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

これは $2 \times 3$ の行列であるため、正方行列ではありません。したがって逆行列は存在しません。

(7)

$\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

この行列の行列式は $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ なので、逆行列が存在します。逆行列は、

$\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

です。

(8) 2025:

これは $1 \times 1$ の行列（つまりスカラー）とみなせます。逆数は $1/2025$ です。

(9)

$\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$

行列式は $3 \cdot 5 - 4 \cdot 1 = 15 - 4 = 11$ です。逆行列は

$\frac{1}{11} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

です。

(10)

$\begin{pmatrix} 4 & -6 \\ -6 & 9 \end{pmatrix}$

行列式は $4 \cdot 9 - (-6) \cdot (-6) = 36 - 36 = 0$ です。行列式が0なので、逆行列は存在しません。

(11)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

1行目と3行目が同じなので、行列式は0です。したがって、逆行列は存在しません。

(12)

$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 4 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

行列式を計算します。

$2(4 \cdot 2 - 1 \cdot 2) - (-1)(-3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) + 3(-3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1)) = 2(8-2) + (-6+1) + 3(-6+4) = 2(6) - 5 + 3(-2) = 12 - 5 - 6 = 1$

行列式が1なので逆行列が存在します。余因子行列を計算し、転置すると、

$\begin{pmatrix} 6 & 8 & -5 \\ 5 & 7 & -5 \\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

したがって、逆行列は、

$\begin{pmatrix} 6 & 8 & -5 \\ 5 & 7 & -5 \\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

です。

3. 最終的な答え

(1) 逆行列は存在しない。

(2) E

(3) $B^{-1}A^{-1}$

(4) 与えられた条件だけでは何もわからない。

(5) 逆行列は存在しない。

(6) 逆行列は存在しない。

(7) $\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

(8) $1/2025$

(9) $\begin{pmatrix} 5/11 & -4/11 \\ -1/11 & 3/11 \end{pmatrix}$

(10) 逆行列は存在しない。

(11) 逆行列は存在しない。

(12) $\begin{pmatrix} 6 & 8 & -5 \\ 5 & 7 & -5 \\ -2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$