与えられた等式 $(k+1)^2k^2 - k^2(k-1)^2 = 4k^3$ を利用して、$\sum_{k=1}^n k^3$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた等式 $(k+1)^2k^2 - k^2(k-1)^2 = 4k^3$ を利用して、$\sum_{k=1}^n k^3$ を求める。

2. 解き方の手順

与えられた等式 $\sum_{k=1}^n \{(k+1)^2k^2 - k^2(k-1)^2\} = \sum_{k=1}^n 4k^3$ を考える。

左辺はtelescoping sumとなる。つまり、

$\sum_{k=1}^n \{(k+1)^2k^2 - k^2(k-1)^2\} = (2^2 \cdot 1^2 - 1^2 \cdot 0^2) + (3^2 \cdot 2^2 - 2^2 \cdot 1^2) + (4^2 \cdot 3^2 - 3^2 \cdot 2^2) + \cdots + \{(n+1)^2n^2 - n^2(n-1)^2\}$

$= (n+1)^2n^2 - 1^2 \cdot 0^2 = (n+1)^2n^2 = n^2(n+1)^2$

したがって、$n^2(n+1)^2 = \sum_{k=1}^n 4k^3 = 4 \sum_{k=1}^n k^3$ となる。

よって、

$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^n k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$