与えられた二次関数の最大値と最小値を、定義域内で求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$, $-1 \le x \le 5$ (2) $y = -3x^2 - 6x + 5$, $-4 \le x \le -1$ (3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$, $1 \le x \le 3$

1. 問題の内容

与えられた二次関数の最大値と最小値を、定義域内で求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$, $-1 \le x \le 5$

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$, $-4 \le x \le -1$

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$, $1 \le x \le 3$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、平方完成を行い、頂点を求めます。

次に、定義域の端点における関数の値を計算します。

頂点の$y$座標と、定義域の端点における$y$座標を比較し、最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

平方完成します。

$y = (x-2)^2 - 1$

頂点は $(2, -1)$ であり、下に凸なグラフです。

定義域は $-1 \le x \le 5$です。

$x=-1$ のとき $y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

$x=5$ のとき $y = (5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

頂点の $y$ 座標は -1 です。

定義域内で $x=2$ が含まれているので、$x=2$ で最小値 -1 を取ります。

$x=-1$ または $x=5$ で最大値 8 を取ります。

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$

平方完成します。

$y = -3(x^2 + 2x) + 5 = -3(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5 = -3(x+1)^2 + 3 + 5 = -3(x+1)^2 + 8$

頂点は $(-1, 8)$ であり、上に凸なグラフです。

定義域は $-4 \le x \le -1$です。

$x=-1$ のとき $y = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$

$x=-4$ のとき $y = -3(-4)^2 - 6(-4) + 5 = -3(16) + 24 + 5 = -48 + 24 + 5 = -19$

頂点の$x$座標は -1 であり、定義域の端点の一つです。

$x=-1$ で最大値 8 を取ります。

$x=-4$ で最小値 -19 を取ります。

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$

平方完成します。

$y = -(x^2 - 3x) - \frac{1}{4} = -(x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2) - \frac{1}{4} = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - \frac{1}{4} = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{8}{4} = -(x - \frac{3}{2})^2 + 2$

頂点は $(\frac{3}{2}, 2)$ であり、上に凸なグラフです。

定義域は $1 \le x \le 3$です。

$x=1$ のとき $y = -(1)^2 + 3(1) - \frac{1}{4} = -1 + 3 - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

$x=3$ のとき $y = -(3)^2 + 3(3) - \frac{1}{4} = -9 + 9 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

頂点の $x$ 座標は $\frac{3}{2}$ であり、定義域に含まれています。

$x = \frac{3}{2}$ で最大値 2 を取ります。

$x = 3$ で最小値 $-\frac{1}{4}$ を取ります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8 (x = -1, 5), 最小値: -1 (x = 2)

(2) 最大値: 8 (x = -1), 最小値: -19 (x = -4)

(3) 最大値: 2 (x = 3/2), 最小値: -1/4 (x = 3)