与えられた対数方程式 $log_2 x + log_2 (x - 2) = 3$ を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式 $log_2 x + log_2 (x - 2) = 3$ を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、左辺を一つの対数にまとめます。

$log_a x + log_a y = log_a (xy)$ という公式を使います。

$log_2 x + log_2 (x - 2) = log_2 (x(x - 2))$

したがって、方程式は次のようになります。

$log_2 (x(x - 2)) = 3$

次に、対数の定義を使って、対数を指数形式に変換します。

$log_a b = c$ ならば $a^c = b$ です。

$2^3 = x(x - 2)$

$8 = x^2 - 2x$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解を利用します。

$(x - 4)(x + 2) = 0$

したがって、$x = 4$ または $x = -2$ となります。

対数の真数条件を確認します。

$x > 0$ かつ $x - 2 > 0$ でなければなりません。つまり、$x > 2$ である必要があります。

$x = 4$ は $x > 2$ を満たしますが、$x = -2$ は満たしません。

したがって、$x = 4$ のみが解となります。

3. 最終的な答え

$x = 4$