与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 1$ と初期条件 $a_1 = -1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 1$ と初期条件 $a_1 = -1$ から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 1$ を変形する。特性方程式 $x = 3x + 1$ を解くと、

$x = -\frac{1}{2}$

となる。そこで、漸化式を以下のように変形する。

$a_{n+1} + \frac{1}{2} = 3(a_n + \frac{1}{2})$

$b_n = a_n + \frac{1}{2}$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となる。これは、数列 $\{b_n\}$ が公比 3 の等比数列であることを示している。

初項 $b_1$ は $b_1 = a_1 + \frac{1}{2} = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$ である。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = -\frac{1}{2} \cdot 3^{n-1}$ となる。

$a_n = b_n - \frac{1}{2}$ であるから、$a_n = -\frac{1}{2} \cdot 3^{n-1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(3^{n-1} + 1)$ となる。

3. 最終的な答え

$a_n = -\frac{1}{2}(3^{n-1} + 1)$