3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 8 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

$x^3 + 8 = 0$ を解きます。

まず、$8 = 2^3$ であることに注目し、左辺を因数分解します。

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を用いると、

$x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4) = 0$ となります。

したがって、$x+2 = 0$ または $x^2 - 2x + 4 = 0$ となります。

$x+2 = 0$ より、 $x = -2$ が得られます。

次に、$x^2 - 2x + 4 = 0$ を解きます。これは二次方程式なので、解の公式を用います。

解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ で与えられるというものです。

この場合、$a = 1$, $b = -2$, $c = 4$ なので、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{-3}}{2} = 1 \pm \sqrt{-3} = 1 \pm i\sqrt{3}$

となります。ここで、$i$ は虚数単位（$i^2 = -1$）です。

3. 最終的な答え

$x = -2, 1 + i\sqrt{3}, 1 - i\sqrt{3}$