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与えられた2次関数を平方完成の形 $y = a(x-p)^2 + q$ に変形する問題です。具体的には、以下の8つの関数について平方完成を行います。 (1) $y=2x^2+4x$ (2) $y=-x^2-4x+3$ (3) $y=-2x^2+12x-7$ (4) $y=3x^2-6x+1$ (5) $y=-x^2-2x+3$ (6) $y=-2x^2+8x-3$ (7) $y=\frac{1}{2}x^2+x+3$ (8) $y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$

代数学二次関数平方完成数式変形
2025/5/20

1. 問題の内容

与えられた2次関数を平方完成の形 y=a(x−p)2+qy = a(x-p)^2 + q に変形する問題です。具体的には、以下の8つの関数について平方完成を行います。
(1) y=2x2+4xy=2x^2+4x
(2) y=−x2−4x+3y=-x^2-4x+3
(3) y=−2x2+12x−7y=-2x^2+12x-7
(4) y=3x2−6x+1y=3x^2-6x+1
(5) y=−x2−2x+3y=-x^2-2x+3
(6) y=−2x2+8x−3y=-2x^2+8x-3
(7) y=12x2+x+3y=\frac{1}{2}x^2+x+3
(8) y=−13x2−43x−1y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1

2. 解き方の手順

平方完成は、与えられた2次関数を y=a(x−p)2+qy = a(x-p)^2 + q の形に変形する操作です。
基本的な手順は以下の通りです。

1. $x^2$ の係数 $a$ で $x^2$ と $x$ の項をくくり出す。

2. 括弧の中を $(x \pm \alpha)^2$ の形にするために、定数項を足したり引いたりする。

3. 全体を整理して $y = a(x-p)^2 + q$ の形にする。

以下、それぞれの関数について平方完成の手順を示します。
(1) y=2x2+4xy=2x^2+4x
y=2(x2+2x)=2(x2+2x+1−1)=2((x+1)2−1)=2(x+1)2−2y = 2(x^2 + 2x) = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) = 2((x+1)^2 - 1) = 2(x+1)^2 - 2
(2) y=−x2−4x+3y=-x^2-4x+3
y=−(x2+4x)+3=−(x2+4x+4−4)+3=−((x+2)2−4)+3=−(x+2)2+4+3=−(x+2)2+7y = -(x^2 + 4x) + 3 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 3 = -((x+2)^2 - 4) + 3 = -(x+2)^2 + 4 + 3 = -(x+2)^2 + 7
(3) y=−2x2+12x−7y=-2x^2+12x-7
y=−2(x2−6x)−7=−2(x2−6x+9−9)−7=−2((x−3)2−9)−7=−2(x−3)2+18−7=−2(x−3)2+11y = -2(x^2 - 6x) - 7 = -2(x^2 - 6x + 9 - 9) - 7 = -2((x-3)^2 - 9) - 7 = -2(x-3)^2 + 18 - 7 = -2(x-3)^2 + 11
(4) y=3x2−6x+1y=3x^2-6x+1
y=3(x2−2x)+1=3(x2−2x+1−1)+1=3((x−1)2−1)+1=3(x−1)2−3+1=3(x−1)2−2y = 3(x^2 - 2x) + 1 = 3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 3((x-1)^2 - 1) + 1 = 3(x-1)^2 - 3 + 1 = 3(x-1)^2 - 2
(5) y=−x2−2x+3y=-x^2-2x+3
y=−(x2+2x)+3=−(x2+2x+1−1)+3=−((x+1)2−1)+3=−(x+1)2+1+3=−(x+1)2+4y = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = -((x+1)^2 - 1) + 3 = -(x+1)^2 + 1 + 3 = -(x+1)^2 + 4
(6) y=−2x2+8x−3y=-2x^2+8x-3
y=−2(x2−4x)−3=−2(x2−4x+4−4)−3=−2((x−2)2−4)−3=−2(x−2)2+8−3=−2(x−2)2+5y = -2(x^2 - 4x) - 3 = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 3 = -2((x-2)^2 - 4) - 3 = -2(x-2)^2 + 8 - 3 = -2(x-2)^2 + 5
(7) y=12x2+x+3y=\frac{1}{2}x^2+x+3
y=12(x2+2x)+3=12(x2+2x+1−1)+3=12((x+1)2−1)+3=12(x+1)2−12+3=12(x+1)2+52y = \frac{1}{2}(x^2 + 2x) + 3 = \frac{1}{2}(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3 = \frac{1}{2}((x+1)^2 - 1) + 3 = \frac{1}{2}(x+1)^2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{5}{2}
(8) y=−13x2−43x−1y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1
y=−13(x2+4x)−1=−13(x2+4x+4−4)−1=−13((x+2)2−4)−1=−13(x+2)2+43−1=−13(x+2)2+13y = -\frac{1}{3}(x^2 + 4x) - 1 = -\frac{1}{3}(x^2 + 4x + 4 - 4) - 1 = -\frac{1}{3}((x+2)^2 - 4) - 1 = -\frac{1}{3}(x+2)^2 + \frac{4}{3} - 1 = -\frac{1}{3}(x+2)^2 + \frac{1}{3}

3. 最終的な答え

(1) y=2(x+1)2−2y = 2(x+1)^2 - 2
(2) y=−(x+2)2+7y = -(x+2)^2 + 7
(3) y=−2(x−3)2+11y = -2(x-3)^2 + 11
(4) y=3(x−1)2−2y = 3(x-1)^2 - 2
(5) y=−(x+1)2+4y = -(x+1)^2 + 4
(6) y=−2(x−2)2+5y = -2(x-2)^2 + 5
(7) y=12(x+1)2+52y = \frac{1}{2}(x+1)^2 + \frac{5}{2}
(8) y=−13(x+2)2+13y = -\frac{1}{3}(x+2)^2 + \frac{1}{3}

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