与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 4a_n - 6$ (2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$

1. 問題の内容

与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 4a_n - 6$

(2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 5$, $a_{n+1} = 4a_n - 6$

この漸化式は、$a_{n+1} = pa_n + q$ の形なので、特性方程式を利用して解きます。

特性方程式を $x = 4x - 6$ とおくと、

$3x = 6$

$x = 2$

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - 2 = 4(a_n - 2)$

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_1 = a_1 - 2 = 5 - 2 = 3$ となり、数列 $\{b_n\}$ は、初項 $b_1 = 3$、公比 $4$ の等比数列になります。

よって、$b_n = 3 \cdot 4^{n-1}$

したがって、$a_n - 2 = 3 \cdot 4^{n-1}$

$a_n = 3 \cdot 4^{n-1} + 2$

(2) $a_1 = 3$, $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$

この漸化式も、$a_{n+1} = pa_n + q$ の形なので、特性方程式を利用して解きます。

特性方程式を $x = \frac{1}{2}x + 1$ とおくと、

$\frac{1}{2}x = 1$

$x = 2$

したがって、漸化式は次のように変形できます。

$a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2)$

ここで、$b_n = a_n - 2$ とおくと、$b_1 = a_1 - 2 = 3 - 2 = 1$ となり、数列 $\{b_n\}$ は、初項 $b_1 = 1$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列になります。

よって、$b_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1} = (\frac{1}{2})^{n-1}$

したがって、$a_n - 2 = (\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_n = (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3 \cdot 4^{n-1} + 2$

(2) $a_n = (\frac{1}{2})^{n-1} + 2$