2次関数 $y = x^2 + 3x + m - 1$ のグラフがx軸と共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 3x + m - 1$ のグラフがx軸と共有点をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = x^2 + 3x + m - 1$ のグラフがx軸と共有点をもたない条件は、2次方程式 $x^2 + 3x + m - 1 = 0$ が実数解を持たないことである。

これは、判別式 $D$ が負であることと同値である。

判別式 $D$ は、

$D = b^2 - 4ac$

で与えられる。ここで、$a = 1$, $b = 3$, $c = m - 1$ であるから、

$D = 3^2 - 4(1)(m - 1)$

$D = 9 - 4m + 4$

$D = 13 - 4m$

$D < 0$ となる条件を求める。

$13 - 4m < 0$

$4m > 13$

$m > \frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

$m > \frac{13}{4}$