多項式 $P(x) = x^3 - x^2 + 2x + 3$ を、(1) $x+1$ および (2) $x-2$ で割ったときの余りをそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 - x^2 + 2x + 3$ を、(1) $x+1$ および (2) $x-2$ で割ったときの余りをそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x - a$ で割ったときの余りは $P(a)$ に等しいという定理です。

(1) $x+1$ で割った余りを求めます。$x+1 = 0$ となる $x$ の値は $x = -1$ です。したがって、求める余りは $P(-1)$ です。

$P(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 2(-1) + 3 = -1 - 1 - 2 + 3 = -1$

(2) $x-2$ で割った余りを求めます。$x-2 = 0$ となる $x$ の値は $x = 2$ です。したがって、求める余りは $P(2)$ です。

$P(2) = (2)^3 - (2)^2 + 2(2) + 3 = 8 - 4 + 4 + 3 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $x+1$ で割った余り: $-1$

(2) $x-2$ で割った余り: $11$