## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の4つの式を因数分解する問題です。

1. $x^3 + 27$

2. $125x^3 - y^3$

3. $x^6 - y^6$

4. $x^6 - 124x^3 - 125$

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2. 解き方の手順

1. $x^3 + 27$

* これは、$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ の公式を利用します。

* $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$ なので、$a=x$, $b=3$ を公式に代入します。

* $x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$

2. $125x^3 - y^3$

* これは、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。

* $125x^3 - y^3 = (5x)^3 - y^3$ なので、$a=5x$, $b=y$ を公式に代入します。

* $125x^3 - y^3 = (5x-y)((5x)^2 + (5x)y + y^2) = (5x-y)(25x^2 + 5xy + y^2)$

3. $x^6 - y^6$

* これは、差の二乗の因数分解 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を2回利用します。

* $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

* さらに、$x^3 + y^3$ と $x^3 - y^3$ をそれぞれの公式で因数分解します。

* $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$

* $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$

* したがって、$x^6 - y^6 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

* 整理すると、$x^6 - y^6 = (x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

4. $x^6 - 124x^3 - 125$

* $x^3 = t$ と置換します。

* $t^2 - 124t - 125$

* この二次式を因数分解します。

* $(t - 125)(t + 1)$

* $t$ を $x^3$ に戻します。

* $(x^3 - 125)(x^3 + 1)$

* $x^3 - 125$ と $x^3 + 1$ をそれぞれの公式で因数分解します。

* $x^3 - 125 = x^3 - 5^3 = (x-5)(x^2 + 5x + 25)$

* $x^3 + 1 = x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

* したがって、$x^6 - 124x^3 - 125 = (x-5)(x^2 + 5x + 25)(x+1)(x^2 - x + 1)$

* 整理すると、$x^6 - 124x^3 - 125 = (x-5)(x+1)(x^2+5x+25)(x^2-x+1)$

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3. 最終的な答え

1. $x^3 + 27 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$

2. $125x^3 - y^3 = (5x-y)(25x^2 + 5xy + y^2)$

3. $x^6 - y^6 = (x+y)(x-y)(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)$

4. $x^6 - 124x^3 - 125 = (x-5)(x+1)(x^2+5x+25)(x^2-x+1)$