数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 2n - 1$ であり、この数列を、第 $n$ 群が $(2n-1)$ 個の項を含むように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の初項を $n$ の式で表す。 (2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を $n$ の式で表す。 (3) 2013 が第何群の第何項か求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 2n - 1$ であり、この数列を、第 $n$ 群が $(2n-1)$ 個の項を含むように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の初項を $n$ の式で表す。

(2) 第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ を $n$ の式で表す。

(3) 2013 が第何群の第何項か求める。

2. 解き方の手順

(1)

第 $n$ 群の初項は、第 $(n-1)$ 群までの項数に 1 を加えた項である。

第 $k$ 群の項数は $(2k-1)$ 個であるから、第 $(n-1)$ 群までの項数の合計は

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = (n-1)n - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

したがって、第 $n$ 群の初項は、元の数列の第 $(n-1)^2 + 1$ 項であるから、

$a_{(n-1)^2 + 1} = 2((n-1)^2 + 1) - 1 = 2(n^2 - 2n + 1 + 1) - 1 = 2n^2 - 4n + 4 - 1 = 2n^2 - 4n + 3$

(2)

第 $n$ 群は $(2n-1)$ 個の項からなり、その初項は $2n^2 - 4n + 3$ である。

この数列の公差は 2 であるから、第 $n$ 群の末項は

$2n^2 - 4n + 3 + (2n-1-1) \cdot 2 = 2n^2 - 4n + 3 + 4n - 4 = 2n^2 - 1$

したがって、第 $n$ 群の項の総和 $S(n)$ は、

$S(n) = \frac{2n-1}{2} (2n^2 - 4n + 3 + 2n^2 - 1) = \frac{2n-1}{2} (4n^2 - 4n + 2) = (2n-1)(2n^2 - 2n + 1) = 4n^3 - 4n^2 + 2n - 2n^2 + 2n - 1 = 4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

(3)

2013 が第 $m$ 群に含まれるとする。$2013 = 2k - 1$ より $2k = 2014$, $k = 1007$.

第 $m$ 群の初項は $2m^2 - 4m + 3$ である。

$2m^2 - 4m + 3 \le 1007$ かつ $1007 \le 2m^2 - 1$ を満たす $m$ を考える。

まず、$1007 \le 2m^2 - 1$ より $1008 \le 2m^2$, $504 \le m^2$. よって $m \ge \sqrt{504} \approx 22.4$.

次に、$2m^2 - 4m + 3 \le 1007$ より $2m^2 - 4m - 1004 \le 0$, $m^2 - 2m - 502 \le 0$.

$m = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 502}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 + 502} = 1 \pm \sqrt{503} \approx 1 \pm 22.4$

よって、$1-22.4 \le m \le 1+22.4$ なので $-21.4 \le m \le 23.4$.

$m$ は整数なので、 $m = 23$ である。

第 22 群までの項数は $(22-1)^2 = 21^2 = 484$ である。

第 23 群の初項は $2(23^2) - 4(23) + 3 = 2(529) - 92 + 3 = 1058 - 92 + 3 = 969$.

$1007$ は第 $969 + (n-1) \cdot 2 = 1007$ より $2(n-1) = 38$, $n-1 = 19$, $n = 20$

したがって、2013 は第23群の第20項である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の初項: $2n^2 - 4n + 3$

(2) 第 $n$ 群の項の総和: $4n^3 - 6n^2 + 4n - 1$

(3) 2013 は第 23 群の第 20 項