初項から第3項までの和が21, 第3項から第5項までの和が84である等比数列の初項と公比を求めよ。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が21, 第3項から第5項までの和が84である等比数列の初項と公比を求めよ。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$, 公比を $r$ とする。

初項から第3項までの和は、

$a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2) = 21$

第3項から第5項までの和は、

$ar^2 + ar^3 + ar^4 = ar^2(1 + r + r^2) = 84$

上記の2つの式から、

$\frac{ar^2(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{84}{21}$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

(1) $r = 2$ のとき

$a(1 + 2 + 2^2) = 21$

$a(1 + 2 + 4) = 21$

$7a = 21$

$a = 3$

(2) $r = -2$ のとき

$a(1 - 2 + (-2)^2) = 21$

$a(1 - 2 + 4) = 21$

$3a = 21$

$a = 7$

3. 最終的な答え

(1) 初項3, 公比2

(2) 初項7, 公比-2