与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。具体的には以下の2つの問題があります。 (1) $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$ (2) $\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$

1. 問題の内容

与えられた等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を定める問題です。具体的には以下の2つの問題があります。

(1) $2x^2 - 7x - 1 = a(x-1)^2 + b(x-1) + c$

(2) $\frac{x+1}{(x-1)(3x-1)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1}$

2. 解き方の手順

(1) の場合：

まず、右辺を展開します。

$a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)$

次に、左辺と右辺の係数を比較します。

$x^2$ の係数: $2 = a$

$x$ の係数: $-7 = -2a + b$

定数項: $-1 = a - b + c$

これらの連立方程式を解きます。

$a = 2$ を $-7 = -2a + b$ に代入すると、$-7 = -4 + b$ より $b = -3$

$a = 2$ と $b = -3$ を $-1 = a - b + c$ に代入すると、$-1 = 2 - (-3) + c$ より $-1 = 5 + c$ よって $c = -6$

(2) の場合：

右辺を通分します。

$\frac{a}{x-1} + \frac{b}{3x-1} = \frac{a(3x-1) + b(x-1)}{(x-1)(3x-1)} = \frac{3ax - a + bx - b}{(x-1)(3x-1)} = \frac{(3a+b)x + (-a-b)}{(x-1)(3x-1)}$

左辺と右辺の分子を比較します。

$x+1 = (3a+b)x + (-a-b)$

$x$ の係数: $1 = 3a + b$

定数項: $1 = -a - b$

これらの連立方程式を解きます。

$1 = 3a + b$ と $1 = -a - b$ を足し合わせると、

$2 = 2a$ より $a = 1$

$a = 1$ を $1 = -a - b$ に代入すると、 $1 = -1 - b$ より $b = -2$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, b = -3, c = -6$

(2) $a = 1, b = -2$