与えられた連立一次方程式 $ \begin{cases} x + 3y + 3z = 0 \\ 2x + 7y + 8z = 0 \\ 4x + 10y + az = 0 \end{cases} $ について、以下の2つの問いに答える。 (1) この連立一次方程式が自明でない解を持つような実数 $a$ の値を求める。 (2) (1)で求めた $a$ の値に対して、連立一次方程式の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式

$\begin{cases} x + 3y + 3z = 0 \\ 2x + 7y + 8z = 0 \\ 4x + 10y + az = 0 \end{cases}$

について、以下の2つの問いに答える。

(1) この連立一次方程式が自明でない解を持つような実数 $a$ の値を求める。

(2) (1)で求めた $a$ の値に対して、連立一次方程式の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 連立一次方程式が自明でない解を持つ条件は、係数行列の行列式が0になることである。係数行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 8 \\ 4 & 10 & a \end{pmatrix}$

である。この行列式を計算すると

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & 7 & 8 \\ 4 & 10 & a \end{vmatrix} = 1(7a - 80) - 3(2a - 32) + 3(20 - 28) = 7a - 80 - 6a + 96 + 60 - 84 = a - 8$

となる。これが0になる条件は $a = 8$ である。

(2) $a = 8$ のとき、連立一次方程式は

$\begin{cases} x + 3y + 3z = 0 \\ 2x + 7y + 8z = 0 \\ 4x + 10y + 8z = 0 \end{cases}$

となる。第3式から第2式の2倍を引くと

$4x + 10y + 8z - 2(2x + 7y + 8z) = 4x + 10y + 8z - 4x - 14y - 16z = -4y - 8z = 0$

となるので、 $y = -2z$ である。これを第1式に代入すると

$x + 3(-2z) + 3z = x - 6z + 3z = x - 3z = 0$

となるので、 $x = 3z$ である。よって、解は

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3z \\ -2z \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

となる。 $z$ は任意定数なので、$z = k$ とおくと

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 8$ (選択肢3)

(2)

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (選択肢5)