与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は、各項が $k \cdot 5^{k-1}$ (ただし $k$ は1から $n$ までの整数) の形をしているものの和です。つまり、 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列は、各項が $k \cdot 5^{k-1}$ (ただし $k$ は1から $n$ までの整数) の形をしているものの和です。つまり、

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$ を計算します。

2. 解き方の手順

この問題は、等比数列の和の公式を利用して解きます。

まず、$S$ を以下のように書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}$

次に、$S$ に公比 5 を掛けた $5S$ を計算します。

$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^4 + \cdots + n \cdot 5^{n}$

ここで、$S$ から $5S$ を引きます。

$S - 5S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \cdots + n \cdot 5^{n-1}) - (1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^4 + \cdots + n \cdot 5^{n})$

$-4S = 1 + (2-1)5 + (3-2)5^2 + (4-3)5^3 + \cdots + (n-(n-1))5^{n-1} - n \cdot 5^{n}$

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1} - n \cdot 5^{n}$

$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1}$ は、初項1、公比5、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \cdots + 5^{n-1} = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

したがって、

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^{n}$

$S = -\frac{1}{4} (\frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^{n})$

$S = -\frac{1}{16} (5^n - 1 - 4n \cdot 5^{n})$

$S = \frac{4n \cdot 5^n - 5^n + 1}{16}$

$S = \frac{(4n - 1) 5^n + 1}{16}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(4n-1)5^n+1}{16}$