初項が $a$ (ただし $a \ne 0$)である等比数列の初項から第3項までの和が $S$ である。そのような等比数列がただ一つ存在するときの、$a$ と $S$ の関係、$a$ と $S$ がその関係を満たすときの公比、そして第10項を求める。

1. 問題の内容

初項が $a$ (ただし $a \ne 0$)である等比数列の初項から第3項までの和が $S$ である。そのような等比数列がただ一つ存在するときの、$a$ と $S$ の関係、$a$ と $S$ がその関係を満たすときの公比、そして第10項を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の公比を $r$ とすると、初項から第3項までの和 $S$ は、

$S = a + ar + ar^2$

と表せる。$a \ne 0$ より、両辺を $a$ で割ると、

$\frac{S}{a} = 1 + r + r^2$

$r$ について解くと

$r^2 + r + (1 - \frac{S}{a}) = 0$

この $r$ に関する二次方程式がただ一つの実数解を持つためには、判別式 $D$ が0でなければならない。

$D = 1^2 - 4(1 - \frac{S}{a}) = 0$

$1 - 4 + \frac{4S}{a} = 0$

$\frac{4S}{a} = 3$

$4S = 3a$

$S = \frac{3}{4} a$

このとき、$r^2 + r + (1 - \frac{S}{a}) = r^2 + r + (1 - \frac{3}{4}) = r^2 + r + \frac{1}{4} = (r + \frac{1}{2})^2 = 0$

したがって、$r = -\frac{1}{2}$

第10項は $ar^9$ であり、 $a = \frac{4}{3} S$ だから、

$ar^9 = (\frac{4}{3} S)(-\frac{1}{2})^9 = \frac{4}{3} S (-\frac{1}{512}) = -\frac{S}{384}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{3}{4}a$

公比は $-\frac{1}{2}$

第10項は $-\frac{S}{384}$