2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、自然数 $n$ に対して $A^n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2次正方行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、自然数 $n$ に対して $A^n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。固有方程式は、

$|A - \lambda I| = 0$

ここで、$I$ は単位行列です。

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 5 \\ 1 & -3-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-3-\lambda) - 5 = 0$

$\lambda^2 + 2\lambda - 8 = 0$

$(\lambda + 4)(\lambda - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = -4$ と $\lambda_2 = 2$ です。

次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = -4$ のとき、

$\begin{pmatrix} 1-(-4) & 5 \\ 1 & -3-(-4) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 5 & 5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x + y = 0$

$y = -x$

したがって、固有ベクトルの一つは $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ です。

$\lambda_2 = 2$ のとき、

$\begin{pmatrix} 1-2 & 5 \\ 1 & -3-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -1 & 5 \\ 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = 5y$

したがって、固有ベクトルの一つは $\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ と、対角行列 $D = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ を定義します。このとき、$A = PDP^{-1}$ となります。

$P^{-1} = \frac{1}{1*1 - 5*(-1)} \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}$

$D^n = \begin{pmatrix} (-4)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$

$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (-4)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} (-4)^n & 5(2^n) \\ -(-4)^n & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^n = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} (-4)^n + 5(2^n) & -5(-4)^n + 5(2^n) \\ -(-4)^n + 2^n & 5(-4)^n + 2^n \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^n = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} (-4)^n + 5 \cdot 2^n & -5(-4)^n + 5 \cdot 2^n \\ -(-4)^n + 2^n & 5(-4)^n + 2^n \end{pmatrix}$